Colégio Estadual Senador Onofre Quinan Alunos: Leandro e Carlos 2°B Professor: Edison

A lei dos cossenos estabelece uma relação entre um lado do triângulo, seu ângulo oposto e os lados que definem este ângulo através da trigonometria.

Fórmula:

Em um triângulo qualquer ABC de lados BC, AC e AB que medem respectivamente a, b e c e com ângulos internos , e valem as relações:

Demonstração:

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:
Considerandoa figura, podemos observar três triângulos:

Destes, pode-se extrair as seguintes relações

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:Para BCD

a* Para BAD:

Entretanto, pode-se substituir a relação:

do triângulo

na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um vetor como sendo igual a temos um triângulo formado pela soma

e o resultante
Sabendo que

sendo θ o ângulo entre os vetores e temos o seguinte desenvolvimento:

Que pode ser representado como a lei dos cossenos que conhecemos:

.